ધારો કે lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ લક્ષને રીમાન સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે:$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+

Vedclass · Accepted Answer

$32$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ લક્ષને રીમાન સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે:$S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+r^2) \sqrt{n^4+r^4}} ight)$સરવાળાની અંદર અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા:$S = \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} - \frac{2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} ight) dx$$S = \int_0^1 \frac{1-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} dx$અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:$S = \int_0^1 \frac{\frac{1}{x^2}-1}{(x+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}} dx$ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$,તો $dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. જ્યારે $x 	o 0^+, t 	o \infty$ અને જ્યારે $x 	o 1, t 	o 2$:$S = -\int_{\infty}^2 \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}} = \int_2^{\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}$ધારો કે $t^2 - 2 = u^2$,તો $t dt = u du$:$S = \int_0^{\infty} \frac{u du}{(u^2+2)u} = \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2+2}$$S = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{u}{\sqrt{2}} ight) ight]_0^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$આપેલ છે કે $S = \frac{\pi}{k}$,તેથી $k = 2\sqrt{2}$.તેથી,$k^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$. (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ $k^2 = 32$ સાચો જવાબ છે.)

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{1}{3 n^2+8 n+4}+\frac{1}{3 n^2+16 n+16}+\ldots+\frac{1}{15 n^2}\right]=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module